Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 2 & 4 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 4 - 2 \cdot - 3$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 - 2 \cdot - 3$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$4 + 6$

Étape 2.2.2

Additionnez $4$ et $6$ .

$10$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{10} [\begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 2 & 1 \end{array}]$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{10}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} \cdot 4 & \frac{1}{10} \cdot 3 \\ \frac{1}{10} \cdot - 2 & \frac{1}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 6

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (5)} \cdot 4 & \frac{1}{10} \cdot 3 \\ \frac{1}{10} \cdot - 2 & \frac{1}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 2) & \frac{1}{10} \cdot 3 \\ \frac{1}{10} \cdot - 2 & \frac{1}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 2) & \frac{1}{10} \cdot 3 \\ \frac{1}{10} \cdot - 2 & \frac{1}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} \cdot 2 & \frac{1}{10} \cdot 3 \\ \frac{1}{10} \cdot - 2 & \frac{1}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{1}{10} \cdot 3 \\ \frac{1}{10} \cdot - 2 & \frac{1}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 6.3

Associez $\frac{1}{10}$ et $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{3}{10} \\ \frac{1}{10} \cdot - 2 & \frac{1}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{3}{10} \\ \frac{1}{2 (5)} \cdot - 2 & \frac{1}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 6.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{3}{10} \\ \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 6.4.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{3}{10} \\ \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 6.4.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{3}{10} \\ \frac{1}{5} \cdot - 1 & \frac{1}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 6.5

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{3}{10} \\ \frac{- 1}{5} & \frac{1}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{3}{10} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 6.7

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{3}{10} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \end{array}]$